Передача теплоты теплопроводностью описывается дифференциальным уравнением теплопроводности, вытекающим из закона сохранения количества тепловой энергии и основного закона теплопроводности (закона Фурье). При­ведем вывод этого уравнения для одномерного нестационарного температур­ного поля.

Рассмотрим изменение теплосодержания элемента стержня длиной dx и площадью поперечного сечения F, равной единице (рис. 4.1).

Изменение теплосодержания ДQ, вызванное изменением АТ температуры Т(х, т) за время Дх в выделенном объеме Д/ = Дх*1:

ах

ДО = CVAT • Дх = Cv —— Дт • Дх. (4.5)

от

Количество теплоты, поступившей за это время через единичную площадь поверхности, может быть определено также через приращение плотности теп­лового потока Aqx:

ДО = — ДаФ-1 • Дх = Ах ■ Ат.

дх

Из (4.5) и (4.6) с учетом основного закона теплопроводности (4.3) следует:

дТ _ dq

Cv аГ~

Таким образом, уравнение теплопровод­ности для одномерного нестационарного тем­пературного поля может быть записано в виде [59]

дТ д2Т дх ® дх2′

Для двухмерного и трехмерного темпера­турных полей уравнение теплопроводности (4.7) примет вид

SHAPE \* MERGEFORMAT

аг

дх’

Для решения дифференциального уравнения теплопроводности (4.7) за­дают краевые условия, включающие начальные и граничные условия. Началь­ное условие задает распределение температуры внутри тела (для одномерного поля — в стержне) в начальный момент времени:

Дх, 0)= /(х),

где f(x) — известная функция. Важным частным случаем является равномерное распределение температуры в начальный момент времени: Т(х,0)=Т0.

Граничные условия задают различными способами. Граничные условия первого рода задают в виде распределения температуры на поверхности тела (на торце стержня) в любой момент времени [59]: Т„(х) = f(x)

Важным частным случаем является задание постоянной температуры: 7„(т) = 7-0.

Граничные условия второго рода задают в виде распределения плотности теплового потока для каждой точки поверхности как функции времени [59]: qn(x)=f(x) и, в частности: Qn(x) = qf0.

Если необходимо охарактеризовать конвективный теплообмен между по­верхностью тела и движущейся окружающей средой при постоянном потоке теплоты, используют граничные условия третьего рода: плотность теплового потока q„, уносящегося средой, считают пропорциональной разности темпера­тур поверхности тела и среды [59]:

Яп — ot(Tn — 7С),

где а — коэффициент теплообмена, Вт/(м2К).

При этом условия теплообмена на поверхности записывают в виде равен­ства суммы потоков тепла на поверхности со стороны тела и среды:

Если вместо окружающей среды в теплообмене участвует еще одно твер­дое тело, то это граничные условия четвертого рода [59]:

Перечисленные способы задания краевых условий, хотя и являются наибо­лее часто применяющимися, не охватывают всех тех случаев, которые могут встретиться в разнообразных технологических задачах. Так, некоторые осо­бенности постановки задач возникают при учете движения твердых тел, сопри­касающихся по поверхностям скольжения. Процесс теплообмена еще более усложняется, если трение сопровождается пластическими деформациями од­ного из тел в некоторой области и тем более, если характеристики сопротивле­ния деформируемой среды являются функциями температуры.

Решением дифференциального уравнения теплопроводности (4.7) является функция Т(х, х), которая при подстановке в уравнение (4.7) обращает его в тож­дество и, кроме того, удовлетворяет краевым условиям.

Одним из наиболее простых и важных примеров является решение уравне­ния теплопроводности для мгновенного плоского источника тепла, вспыхнувше­го в начальный момент времени х = 0 в плоскости ZOY, перпендикулярной оси х, т. е. в точке х = % бесконечного стержня с нулевой начальной температу­рой, и выделившего при этом количество теплоты Q. Поскольку стержень неог­раниченный, то граничные условия могут быть записаны в виде

(4.8)

Решение уравнения теплопроводности для мгновенного (плоского) источни­ка предложено Томсоном-Кельвином и имеет вид [59]

и-if

б(хЛ, т)=-г=—exp —

V471C0T

Непосредственной проверкой легко убедиться, что функция (4.9) удовле­творяет уравнению теплопроводности (4.7) и граничным условиям (4.8). Из (4.9) также следует, что функция G(x,^,x) имеет максимум в точке х = % и что количе-

ство теплоты Q в любой момент времени остается неизменным и равным CVB, а также что величина В представляет собой площадь, ограниченную функцией Г(х, т) и осью х.

Функцию 6(х, £, т) называют фундаментальным решением уравнения теп­лопроводности. Это связано с тем, что с помощью этого решения можно скон­струировать решения уравнения теплопроводности для других краевых усло­вий: для этого любой процесс распространения теплоты в твердом теле тепло­проводностью представляется как совокупность процессов выравнивания тем­пературы от множества элементарных источников теплоты, распределенных как в пространстве, так и во времени. Результат получается суммированием (интегрированием). Описанный метод решения уравнения теплопроводности называется методом точечных источников теплоты. В качестве примера применения метода источников теплоты рассмотрим задачи о выравнивании температуры, заданной начальным распределением, и об одномерном неста­ционарном температурном поле полуограниченного стержня, торец которого находится при постоянной температуре.