Пластические деформации в материале происходят только тогда, когда выполняется некоторое условие, называемое условием пластичности [62].

Условие пластичности связывает характеристики напряженного состояния с прочностной характеристикой деформируемого материала, пределом текучести.

Напряженное состояние в точке описывается тензором напряжений

Компоненты ох, о у, az характеризу­ют нормальные напряжения на пло­щадках, перпендикулярных осям X, Y. Z, а все остальные компоненты — касательные напряжения (рис. 2.1).

Из условий равновесия элементарного параллелепипеда (см. рис. 2.1) с длинами ребер dx, dy, dz (а именно из условий равенства нулю моментов сил относительно осей X, Y. Z) следует, что

^ху ^yX’^XZ ^ZX’^yZ ^zy.

Таким образом, напряженное состояние в точке может быть полностью охарактеризовано всего шестью компонентами.

Так же, как и для тензора деформаций, компоненты тензора напряжений преобразуются при повороте системы координат с помощью соотношений, линейных относительно направляющих косинусов. По аналогии с деформиро­ванным состоянием имеется такое положение системы координат, при кото­ром вдоль одной из осей нормальное напряжение максимально, а вдоль другой
— минимально, причем касательные напряжения на площадках, перпендику­лярных этим осям, равны нулю. Эти направления называют главными. Глав­ными называют и напряжения вдоль главных направлений: си, <т2, а3; си — все­гда обозначает наибольшее нормальное напряжение, <т3- наименьшее.

Наибольшее касательное напряжение лежит в плоскости, нормаль к кото­рой делит угол между минимальным и максимальным нормальными напряже­ниями пополам, и равно

*тах = 2(а1~аз)- (2.2)

Три инварианта /1t /2, h определяют главные направления тензора напря­

жений и сами находятся из условия равенства нулю касательных напряжений при повороте системы координат [62].

Сумму нормальных напряжений называют первым инвариантом Л тензора напряжений

/1=ах+ау+ст2= Зст0. (2.3)

Среднее значение трех нормальных напряжений называют гидростатиче­ским давлением

a0 = CT*+7+g*. (2.4)

Гидростатическому давлению соответствует тензор напряжений, нормаль­

ные компоненты которого равны сто, а касательные равны нулю. Поскольку гид­ростатическое давление не вызывает в металле пластических деформаций, его исключают из системы напряжений. Оставшуюся часть тензора называют девиатором напряжений SiJt (/’ = 1, 2, 3)

Кроме А существует еще два инварианта (/2 и /3). Второй инвариант опре­деляется следующим выражением [62]:

/2 = -(ayaz + ozgx + ахоу )+tJ, + t2zx + x2zy. (2.6)

Величину, равную корню квадратному из второго инварианта девиатора на­пряжений, называют интенсивностью касательных напряжений х,.

В работах по механике резания используют два условия пластичности. Наибольшее применение нашло условие пластичности, называемое условием Мизеса.

Согласно условию пластичности Мизеса пластические деформации проис­ходят, когда значение второго инварианта девиатора напряжений достигает некоторой постоянной (для данных условий деформирования) величины:

/2=|(s,2+s|+s|)=^-. (2.7)

Условие пластичности Мизеса может быть записано в виде

t,=7^2=xt — (2-8)

Скалярная величина тт характеризует механические свойства материала в данных конкретных условиях деформирования и называется пределом теку­чести на сдвиг.

Для растяжения, сжатия и многих других схем деформирования применя­ют также интенсивность нормальных напряжений

а, = л/Зт,-.

При этом условие пластичности Мизеса (2.8) примет вид

о, = ат. (2.9)

Существуют другие интерпретации условия Мизеса. Так, Губером и Генки показано, что условие Мизеса эквивалентно достижению некоторой характери­стики материала энергии упругой деформации изменения формы [62]. В связи с этим условие пластичности Мизеса называют также энергетическим.

Другое условие пластичности, применяющееся в работах по механике реза­ния, называют условием пластичности Треска [62] или теорией наибольших касательных напряжений. Согласно условию Треска пластическая деформация начинается в точке, где наибольшие касательные напряжения ттах достигают величины от/2, являющейся характеристикой материала. Эту величину обозна­чают также через тт — предел текучести на сдвиг.

Соответственно <7Т называют пределом текучести при растяжении (или при сжатии). Условие Треска может быть записано в виде

■Стах =xT, Oi-a3 = S1-S3 =СТТ. (2.10)

Как показала экспериментальная проверка, условие пластичности Мизеса более точно характеризует пластические деформации пластичных металлов, чем условие Треска [62].

Прочностные характеристики деформируемого материала (пределы текуче­сти тт или ат) в общем случае не остаются постоянными, а зависят 6т условий деформации.

Связь между механическими характеристиками материала и кинематиче­скими и тепловыми характеристиками процесса деформирования описывается определяющим уравнением.

В простейшем случае определяющее уравнение имеет вид

тт = const.

Материал, для которого в процессе деформирования предел текучести ос­тается неизменным, называют идеально пластическим. Однако один и тот же материал при изменении условий деформирования способен вести себя по — разному.

В одних условиях он проявляет свойства идеально пластического тела, в других — предел текучести существенно изменяется. В связи с этим, наряду с моделью идеально пластического тела, предполагающей постоянство предела текучести, используются и другие, более сложные, определяющие уравнения.

Обоснованию возможности применения тех или иных определяющих урав­нений к процессу резания уделялось значительное внимание отечественными [37, 86] и зарубежными [4] учеными.

В частности, при постоянных и небольших температуре и скорости дефор­мации используется определяющее уравнение упрочняемого материала

где т0 = Sb/V3 ,є0 = л/з ln(l + єг) Sb — действительный предел прочности.

Действительный предел прочности Sb находят как частное от деления мак­симальной силы Ртах на действительную площадь поперечного сечения образ­ца при растяжении в момент достижения Ртах:

Sb=Pma*/Fe.

Кроме действительного предела прочности Sfi применяют условный предел прочности оь. При определении стй вместо действительной площади F0 исполь­зуют первоначальную площадь F0 поперечного сечения, которую образец имел до его растяжения. Действительный предел прочности Sb связан с условным пределом прочности и относительным удлинением є* соотношением

Sb=ob{1 + sz). (2.12)

С учетом (1.80) определяющее уравнение упрочняемого материала может быть представлено в виде

|л/э[л/3 ln(l + 8Z)J”| 1

Схемы деформирования, для которых справедливо определяющее уравне­ние упрочняемого материала (2.13), относят к простому нагружению. Для раз­личных схем простого нагружения справедлива единая зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций — единая кривая течения «т/- є,»

[62].

Для более сложных законов поведения деформируемого материала (на­пример при существенном влиянии температуры или скорости деформации) не существует единой кривой течения. В связи с этим учет влияния температуры на предел текучести деформируемого материала имеет принципиальное зна­чение. Определяющие уравнения деформируемого материала могут быть ус­ловно разделены на две группы: в первой влияние температуры не учитывает­ся, а во второй — учитывается.