Воспользуемся идеей метода точечных источников тепла для описания процесса выравнивания температуры в неограниченном стержне. Представим начальные условия, заданные в виде известной функции Т(х,0)= f(x), как сум­мы бесконечного множества кривых вида [59]:

Чтобы доказать справедливость такого представления начального условия, необходимо установить, что записанное в виде интеграла выражение (4.10) при т-> 0 стремится к f(x). Для этого заменим переменную интегрирования £, новой переменной и: £ = х + 2л/ют • и.

После этого выражение (4.10) преобразуется к виду

lim ~7=г ( f[x + 24vn и)ехр(-и2 )du =

Т-*0 4п -00

= f{x)—.L J exp[~u2)du = f(x).

V Я —со

Из этого следует, что функция 0(х, т) удовлетворяет начальному условию. Кроме того, поскольку при х—>±оо подынтегральная функция стремится к нулю, выполняются и граничные условия (4.8). Таким образом, функция [59]

представляет собой решение задачи выравнивания температуры, заданной начальным распределением f(x), в бесконечном стержне.

Рассмотрим задачу распределения темпе­ратуры в полуограниченном стержне, на торце которого поддерживается постоянная темпера­тура Тс: Т(0,т)=Тс = const, а начальное рас­

пределение температуры Т(х,0) задано функци­ей f(x) (рис. 4.2), т. е. заданы краевые условия первого рода.

Если вместо переменной Т(х, х) использо­вать новую переменную Т = Г(х, т)-Гс, то гра­ничные условия запишутся:

Т = Г(х, т)-Тс = 0.

Эти граничные условия будут выполнены, если полубесконечный стержень (0< X < +оо) условно заменим бесконечным (-00 < X < +00), причем начальную температуру в области (х<0) продолжим как нечетную функ­цию (см. рис. 4.2):

f(x) = — f(-x).

При этом вследствие симметрии распределение температуры будет оста­ваться нечетным и в последующие моменты времени (т>0), что обеспечит вы­полнение граничного условия Т = Т(х, х)-Тс = 0.

Применяя формулу (4.11) и разбив бесконечный интервал на два полуогра — ниченных, получим

Пользуясь свойством нечетности, в первом слагаемом заменим перемен­ную % на a fiK) на — Ш

к — (4.12)

Если начальная температура постоянна по всей длине стержня

f(x) = Т(х, 0) = Т0= const,

то решение для температуры стержня с постоянной температурой Тс на торце примет вид [59]

X

~

Т(х, х)-Тс 22^ ( 2І

——-—— = — | ехр^-и* ри = erf То ~ТС Jti о

где erfl —£= — функция ошибок Гаусса.

2у1(дХ )

Зная распределение температуры в любой момент времени, можно опре­делить потери тепла на конце стержня при остывании или расход тепла при нагреве. На основании закона Фурье (4.4) найдем плотность теплового потока

дТ<*»» (4.14)

у х=0

Из формулы (4.14) следует, что в начальный период времени (при т 0) плотность теплового потока очень велика, но с течением времени уменьшает­ся. Комплекс теплофизических характеристик є = JxCv называют коэффици­ентом аккумуляции теплоты или коэффициентом тепловой активности тела.

Определим количество тепла Q, отведенного через торец стержня площа­дью F при остывании (или подведенного к торцу стержня при нагреве):

Q = FjQoCft = FzTc —LrJ-^L = ^j=TcF yfx. (4.15)

0 л/яол/т л/я

Таким образом, количество тепла, необходимое для поддержания постоян­

ной температуры, увеличивается пропорционально корню квадратному из вре­мени нагрева, т. е. сначала быстро, а затем все медленнее.

Определение температурного поля при граничных условиях второго рода (т. е. при задании теплового потока на торце стержня) представляет интерес в связи со многими технологическими задачами. Математическая формулировка этой задачи может быть дана в следующем виде [59]: найти решение уравне­ния (4.7), удовлетворяющее краевым условиям:

Г(х,0) = Т0= const, X + qc=0,

дх

Г(оо. х)=Го. = (4.16)

х—>оо ОХ

Эта задача может быть сведена к уже известному решению задачи об од­номерном нестационарном температурном поле при граничных условиях пер­вого рода. Для того чтобы это показать, перейдем к новой переменной — плот­ности теплового потока

дф(х, т)=-Х^^. (4.17)

ОХ

Продифференцировав уравнение (4.7) по х и, воспользовавшись заменой

(4.17) , преобразуем его к виду

адгФ(х, т) д2дф(х, т) (418)

дт дх2

Краевые условия (4.16) соответственно примут вид

<7Ф(х,0)= 0, q0(O, x)=qc = const, q0(°o, z) = O. (4.19)

Уравнение (4.18) при краевых условиях (4.19) отличается от рассмотренной выше задачи распределения температуры полуограниченного стержня при краевых условиях первого рода только обозначениями. Воспользовавшись из­вестным решением (4.13), запишем

~Яс 2у1озх) Яс у2у1(й х) {2^(ох)

С учетом (4.4) получим [59]

ar(x.’) = _g, erfr х

дх X 2yfm)

—dx = л/шт • ierfc —X—, (4.20)

2Vcot ) ^ 2v©x

где ierfcU = ™erfcWdW =-j=e~u2 — UerfcU.

Vit

Значения функций erfcU и ierfcU табулированы и приводятся в специальной литературе [59].

Из (4.20), в частности, следует, что при постоянном тепловом потоке на торце «стержня» его температура прямо пропорциональна плотности теплово­го потока, обратно пропорциональна коэффициенту аккумуляции тепла и будет повышаться с течением времени пропорционально корню квадратному от вре­мени нагрева

‘ 2 Яс _ 2 Я* ^ _ 2 qc г

где Є = y]xcv.

Процессы распространения тепла в движущиеся стружки и деталь характе­ризуются весьма малыми значениями времени нагрева (тысячные или даже десятитысячные доли секунды) и большими плотностями тепловых потоков. В связи с этим в зоне резания в течение очень коротких отрезков времени могут возникать очень высокие температуры (порядка 1000 °С).