3.1. Свободные затухающие и вынужденные колебания

Колебательные процессы при лезвийной обработке на металлорежущих станках ограничивают точность, качество обработанной поверхности, стой­кость режущего инструмента, производительность обработки. В работах по изучению и устранению (уменьшению интенсивности) колебаний уделялось основное внимание следующим проблемам: изучению причин (природы) воз­никновения колебаний; изучению устойчивости технологической системы «ста­нок — приспособление — инструмент — деталь» при резании; разработке реко­мендаций по повышению виброустойчивости.

В зависимости от причин возникновения колебаний их подразделяют на свободные, вынужденные, параметрические и автоколебания.

Свободные колебания возникают в упругой системе при ее начальном от­клонении от положения равновесия и поддерживаются только силами упруго­сти системы. При наличии сил сопротивления (демпфирования) свободные колебания затухают. Изучение закона затухающих свободных колебаний инст­румента, детали или узла металло­режущего станка может представ­лять практический интерес при экс­периментальном определении ха­рактеристик колебательной системы (собственной частоты колебаний, коэффициента демпфирования).

Одной из простейших моделей упругой системы является консоль­ная балка жесткостью EI с массой т, сосредоточенной на конце балки (рис. 3.1).

Практически эту модель можно применить для описания колебаний резца или консольно закрепленной в патроне детали. Будем считать, что масса т находится под действием трех сил: упругости Fy, сопротивления Fc и инерции Fu, где Fy = k{8cm +zFc= cz, z,=5cm+z:

Fy = k{5cm + z) Fc= cz, Fu = mz.

Постоянная сила резания Pz вызывает отклонение колеблющейся массы на величину 8cm. и впослєдствии колебания происходят относительно этого по­ложения : Z0 = 6cm.

Дифференциальное уравнение движения приведенной массы т (уравне­ние колебаний) при наличии силы упругости, пропорциональной перемеще­нию, и силы сопротивления, пропорциональной скорости перемещения, имеет

ВИД

rnzf + CZ + kz^ =0

или

z +2ez +®0Z1 = 0 , (3-2)

где є = c/2/77 — коэффициент демпфирования, с’1,

co0 = yjk/m — собственная частота свободных колебаний (без затуха­ния).

Общим решением этого дифференциального уравнения колебаний являет­ся функция

Zf =а0 ехр(—ef)sin(of + ф), (3.3)

где ю = — є2 — собственная частота колебаний демпфированной системы,

а0 и <р — постоянные, определяющиеся из начальных условий. Обычно со0 »е и

ПОЭТОМУ Ю»(00.

В зависимости от значения коэффициента демпфирования имеем гармо­нические незатухающие колебания (е = 0), затухающие колебания (є > 0) или колебания с неограниченно возрастающей амплитудой (є < 0).

Значительные успехи были достигнуты при исследовании вынужденных колебаний, т. е. колебаний, возбуждаемых в системе периодической возму­щающей силой. Природа возникновения возмущающей силы может быть раз­ной: передача колебаний через почву от станков с возвратно-поступательным движением, от кузнечно-прессового оборудования, центробежные силы от вращающихся неуравновешенных масс, силы от прерывистого резания, от пе­ременного припуска, переменные силы при нестационарном резании (фрезе­ровании) и др. За счет увеличения степени уравновешенности вращающихся деталей привода (статической и динамической балансировки) была повышена виброустойчивость станков. Разработаны отраслевые нормали, регламенти­рующие уровень вынужденных колебаний станков на холостом ходу. Накоплен опыт по расчету вынужденных колебаний станков с применением ЭВМ.

Вынужденные колебания описываются неоднородным дифференциальным уравнением, в правой части которого — функция возмущающей силы P=P(t). Так, при синусоидальном законе изменения возмущающей силы уравнение колебаний имеет вид

mz" + cz + kzA=P — sin(pf).

Решением неоднородного уравнения вынужденных колебаний является функция

(3.5)

При приближении частоты р возмущающей силы к собственной частоте колебаний а» амплитуда колебаний неограниченно возрастает. Это явление называется явлением резонанса. В частности, С. Л. и Л. С. Мурашкины установили, что при равенстве частот собственных колебаний подсистем детали и инструмента теряется устойчивость технологической системы.

Единственным эффективным способом устранения колебаний при этом является частотная отстройка, которая может быть достигнута, например, путем изменения массы суппорта. Таким образом, уменьшение вынужденных колебаний может быть достигнуто за счет исключения резонансных явлений (частотной отстройки) и повышения демпфирующей способности узлов станка [13,15].